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2.1 Spazio vettoriale

\([...]\) Accidente significa ciò che appartiene ad una cosa e che può essere affermato con verità della cosa, ma non sempre né per lo piú: per esempio, se uno scava una fossa per piantare un albero e trova un tesoro. Questo ritrovamento del tesoro è, dunque, un accidente per chi scava una fossa: infatti, l’una cosa non deriva dall’altra né fa seguito all’altra necessariamente; e nemmeno per lo piú chi pianta un albero trova un tesoro. E un musico può anche essere bianco, ma, poiché questo non avviene né sempre né per lo piú, noi diciamo che è un accidente. Pertanto, poiché ci sono attributi che appartengono ad un soggetto, e poiché alcuni di questi attributi appartengono al soggetto solo in certi luoghi e in certi tempi, allora tutti gli attributi che appartengono ad un soggetto, ma non in quanto il soggetto è questo soggetto e il tempo questo determinato tempo e il luogo questo determinato luogo, saranno accidenti. Dell’accidente non ci sarà quindi neppure una causa determinata, ma ci sarà solo una causa fortuita: e questa è indeterminata. È per accidente che uno giunge ad Egina, se non è partito con l’intento di giungere in tal luogo, ma se è giunto perché spinto dalla tempesta, o preso dai pirati. Dunque, l’accidente è prodotto ed esiste non per se stesso ma per altro: la tempesta, infatti, è stata causa che si giungesse dove non voleva giungere, cioè ad Egina. [...]
Accidente si dice anche in un altro senso. Tali sono tutti gli attributi che appartengono a ciascuna cosa di per sé, ma che non rientrano nella sostanza stessa della cosa. Per esempio, accidente in questo senso è la proprietà di un triangolo di avere la somma degli angoli uguale a due retti. Gli accidenti di questo tipo possono essere eterni, nessuno degli accidenti dell’altro tipo, invece, lo può essere. \([...]\)

2.1.1 Spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$

Avendo preliminarmente definito il concetto di campo, è ora possibile fornire una definizione più rigorosa di spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale, infatti, altro non è che un insieme non vuoto di vettori, dotato di due operazioni ben definite: l’addizione di vettori e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Tale insieme è strutturalmente associato a un campo numerico, da cui provengono gli scalari utilizzati per operare sui vettori, secondo specifiche leggi di combinazione lineare. Ciò significa che per costruire una struttura di spazio vettoriale risultano esser necessarie due entità fondamentali, le quali seguono opportune leggi indotte dall’ambiente: un insieme di vettori e un insieme di scalari. I vettori, ovviamente, sono i protagonisti di questo mondo, mentre gli scalari possono essere visti quali accidenti associabili ai vettori per "allungarli" o "accorciarli".

Osservazione. Esistono due "zeri", quello del campo \(0_\mathbb{K} \in \mathbb{K}\) e quello dell’insieme di vettori \(0_V \in V\).
Alcuni esempi di spazio vettoriale includono:

• \(\mathbb{R}^n\): è lo spazio vettoriale costituito da tutti i vettori in \(n\)-dimensioni, ossia a \(n\) componenti, ove \(n\) è un intero positivo. Ogni vettore in \(\mathbb{R}^n\) può essere rappresentato come una sequenza ordinata di \(n\) numeri reali, \((x_1, x_2, \dots, x_n)\), con operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare che rispettano le leggi degli spazi vettoriali.

• \(\mathbb{R}^1\): È il caso particolare in cui \(n = 1\). Lo spazio vettoriale \(\mathbb{R}^1\) è semplicemente la retta dei numeri reali, ove ogni vettore è un numero reale e le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare sono quelle usuali di \(\mathbb{R}\).

• \(\mathbb{R}^0\): Si tratta dello spazio vettoriale di dimensione zero, ovvero il caso in cui \(n=0\). Anche se non contiene alcun vettore a componenti reali, include comunque il solo vettore nullo: \(\mathbb{R}^0:=\{\vec{0}\}\). Rappresenta un caso limite interessante in algebra lineare.

• \(\mathbb{K}^n\): Ove \(\mathbb{K}\) rappresenta un campo, che potrebbe essere \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\), o un altro campo. In tal caso, \(\mathbb{K}^n\) è uno spazio vettoriale costituito da vettori di dimensione \(n\) a componenti appartenenti al campo \(\mathbb{K}\).

In tutti gli esempi appena dati, gli spazi vettoriali rispettano le proprietà fondamentali di definizione.

In generale, quando ci si riferisce al \(\mathbb{K}\)–spazio vettoriale banale o zero, si intende lo spazio vettoriale costituito dal solo vettore \(\vec{0}\).

Altri spazi da tenere a mente sono i seguenti:

• \(M_{mn}(\mathbb{K})\): rappresenta lo spazio delle matrici \(m \times n\) con elementi appartenenti al campo \(\mathbb{K}\).

• \(\mathbb{K}^A\): rappresenta lo spazio vettoriale delle funzioni da un insieme \(A\) a \(\mathbb{K}\). Si noti che in questo spazio valgono le seguenti proprietà:

  • \((kf)(a) = kf(a)\), per ogni scalare \(k \in \mathbb{K}\) e per ogni funzione \(f \in \mathbb{K}^A\).

  • \((f + g)(a) = f(a) + g(a)\), per ogni coppia di funzioni \(f, g \in \mathbb{K}^A\).

Se esiste uno spazio vettoriale, ovviamente esiste anche un sottospazio vettoriale.

Osservazione. Se \(U \subset V\) sottospazio vettoriale, allora esso contiene necessariamente il vettore \(0_V\).

Esempio. Sia \(V\equiv\mathbb{R}^2\), allora i suoi sottospazi banali sono \(\{ \vec{0}\} \subset V\) e \(V \subset V\), altri sottospazi sono invece le rette del piano passanti per l’origine.

Ebbene sì, il classico piano cartesiano coincide con lo spazio vettoriale \(V \equiv \mathbb{R}^2\). A breve sarà più chiaro anche il significato dei riferimenti geometrici: si porti ancora un po’ di pazienza.

Esempio. Un altro esempio di sottospazio vettoriale è quello delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in \(\mathbb{K}\).
Esercizio. Perchè ci si riferisce solo allo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo?
Prima di concludere il paragrafo, è forse opportuno chiarire finalmente cosa si è inteso fino a questo punto con l’espressione combinazione lineare.

Esempio. Sia \((3,2)=3(1,0)+1(0,2)\), allora \((3,2)\) è combinazione lineare dei vettori \(\{(1,0), (0,2)\}\) con coefficenti \(3\) e \(1\).
Esercizio. Individuare un insieme arbitrario di 4 vettori \(\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{v_3}, \mathbf{v_4}\) in \(\mathbb{R}^2\) tali che esistano coefficienti reali \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4\) per cui la combinazione lineare \[\lambda_1 \mathbf{v_1} + \lambda_2 \mathbf{v_2} + \lambda_3 \mathbf{v_3} + \lambda_4 \mathbf{v_4} = \mathbf{v},\] ove \(\mathbf{v} = \left( \frac{2}{5}, 9\sqrt{2} \right)\).
Un’altra essenziale definizione della quale si farà ampiamente uso per il resto del corso, è quella di span.

Lo spazio da esso generato, può essere visualizzato in vari modi a seconda del numero di vettori che esso contiene: se contiene un vettore, esso genera una retta dato che il vettore può allungarsi e accorciarsi su di una sola direzione e cambiare verso, invece se contiene due vettori esso può essere visualizzato come un piano a causa della proprietà di somma tra vettori.

Esercizio. Si ricorda che è necessario visionare il seguente video realizzato da ClearMath:
https://youtu.be/GGjqfrWsPRE?si=rOFd0a16JKNuMEWg .

2.1.2 Generatori e basi

\([...]\) Sostanza, in questo senso, sono detti i corpi semplici – per esempio fuoco, acqua, terra e tutti gli altri corpi come questi; e in generale tutti i corpi e le cose composte di essi: per esempio animali ed esseri divini e le parti di questi. Tutte queste cose si dicono sostanze, perché non vengono predicate di un sostrato, mentre di esse vien predicato tutto il resto. \([...]\)

In un altro senso, sostanza si dice ciò che è immanente a queste cose che non si predicano di un sostrato ed è causa del loro essere: per esempio l’anima negli animali. \([...]\)

Inoltre, sostanze sono dette anche quelle parti che sono immanenti a queste cose, che delimitano queste stesse cose, che esprimono un alcunché di determinato e la cui eliminazione comporterebbe l’eliminazione del tutto. Per esempio, se si eliminasse la superficie – secondo alcuni filosofi – si eliminerebbe il corpo, e se si eliminasse la linea, si eliminerebbe la superficie. E in generale questi filosofi ritengono che il numero sia una realtà di questo tipo e che determini tutto, perché, se si eliminasse il numero, non ci sarebbe piú nulla. \([...]\)

Inoltre, si dice sostanza di ciascuna cosa anche l’essenza, la cui nozione è definizione della cosa. \([...]\)

Ne risulta che la sostanza si intende secondo due significati: (a) ciò che è sostrato ultimo, il quale non viene piú predicato di altra cosa e (b) ciò che, essendo un alcunché di determinato, può anche essere separabile, e tale è la struttura e la forma di ciascuna cosa. \([...]\)

Un ulteriore passo fondamentale per giungere ad una comprensione geometrica di quanto si svolge in questo universo di vettori consiste nell’enunciare la definizione di base, termine che, lo si intenda bene, non scaturisce da scelta aleatoria.

Prima di definire cosa siano basi e generatori, è necessario introdurre le nozioni di lineare dipendenza e lineare indipendenza.

Ciò implica che, in un dato insieme di vettori, ogni vettore non possa essere espresso come combinazione lineare degli altri; in altre parole, ciascun vettore è unico nel suo genere, e per tale ragione si dice che sia indipendente. La dipendenza lineare, ovviamente, rappresenta il contrario: in un insieme di vettori linearmente dipendenti, almeno uno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri.

Esercizio. Riscrivere le due definizioni appena date utilizzando le sommatorie.
Un metodo particolarmente utile per verificare l’indipendenza lineare di un insieme di vettori consiste nel disporli come colonne di una matrice, per poi ridurre quest’ultima alla forma a scala tramite l’eliminazione di Gauss.

Esercizio. Perché questo algoritmo funziona? Se la risposta non risulta ovvia, si consiglia di rivedere il capitolo (fondamentale!) dedicato ai sistemi lineari.
Ad ogni modo, si consiglia di ragionare in termini di equazioni di un sistema lineare per capirne l’essenza.

Poste tali definizioni preliminari, è possibile ora introdurre la nozione di base di uno spazio vettoriale. Una base non è altro che un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l’intero spazio vettoriale considerato.

Un esempio classico è dato dalla coppia ordinata di vettori \[\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right),\] per la quale, convenzionalmente, si utilizzano le parentesi tonde anziché le graffe, poiché si tratta di una coppia ordinata di vettori. Questa coppia forma la base canonica dello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^2\): i due vettori rappresentano, rispettivamente, l’asse delle ascisse e l’asse delle ordinate nel piano cartesiano.
Esercizio. Verificare che \(\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \}\) siano linearmente indipendenti.

Osservazione. \((v_1,...,v_k) \in V\) è una base di \(V\) se e solo se costituisce un insieme minimale di generatori o massimale di vettori linearmente indipendenti.
Osservazione. La base di uno spazio non è unica, possono esisterne molteplici.

Esercizio. Che dimensione ha lo spazio generato \(((1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1), (2,3,2,1))\)? Se il campo è \(\mathbb{Q}\), come viene denotato tale spazio vettoriale?

Esercizio. Determinare due basi distinte dello spazio \(\mathbb{R}^2\).

Osservazione. Aeneadum genetrix, hominum divumque voluptas... Non si ha nessuna condizione sulla dipendenza a differenza della base.

In generale, se \((v_1,...,v_n)\) è una base di \(V\), allora ogni vettore \(w \in V\) si può esprimere in modo unico come combinazione lineare di \((v_i)\), ossia \(w=\sum_i a_iv_i\). I coefficienti \(a_1,...,a_n\) sono univocamente determinati e si dicono coordinate del vettore \(w\) rispetto alla base \(\mathcal{B}\).
Formalmente, vi è una corrispondenza biunivoca \(X_\mathcal{B}: V \to \mathbb{K}^n\) con \(v \mapsto X_\mathcal{B}(v)\), ove \(X_\mathcal{B}(v)\) significa "coordinate di \(v\) rispetto alla base \(\mathcal{B}\)". L’ordine dei vettori nella base è dovuto proprio all’esistenza delle coordinate, se non ci fosse sarebbe un bel problema.

Da questo momento in poi, per ragioni di comodità espositiva, si adopererà la seguente convenzione di notazione:

Ad esempio, \(\mathcal{E}\equiv((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))\equiv(e_1,e_2,e_3)\) è la base canonica di \(\mathbb{K}^3\). Tornando alla discussione circa le coordinate, per comprenderle può tornare utile il seguente esempio.

Ovviamente, si possono considerare basi diverse dalla canonica, le coordinate servono per indicare la posizione rispetto a dei punti di riferimento noti.
Esercizio. Si disegni, tramite l’utilizzo di squadre da disegno, una griglia a quadretti sulla seguente mappa. Si consideri l’angolo in basso a sinistra come l’origine del sistema di coordinate \(O \equiv (0,0)\). Ogni quadretto della griglia avrà lato di lunghezza pari a \(1u\), dove \(u\) rappresenta l’unità di misura.

(a) Considerando come base i vettori \(((1,0), (0,1))\), che coordinate ha la clock tower?
(b) Considerando, con la medesima base, come centro \(O'\) il middle courtyard, che coordinate ha la clock tower?
Esercizio. Quali sono le coordinate del vettore \((3,4)\) rispetto la base \(\mathcal{B}\equiv ((1,3),(0,1))\)?
In uno spazio vettoriale, è possibile considerare un insieme — una base — di vettori che determinano direzioni specifiche, le quali possono essere impiegate per rappresentare tutte le direzioni possibili nello spazio stesso. Una caratteristica particolarmente interessante di tali spazi consiste nel fatto che, dato un insieme di vettori noti, si può ricostruire una base dello spazio utilizzando soltanto alcuni di essi, purché sia già nota una base di riferimento dello spazio medesimo.

Si supponga di trovarsi di fronte ad un insieme di vettori sparsi nello spazio. Se si dispone di una base di riferimento dello stesso, è possibile selezionare i vettori necessari dall’insieme trovato e combinarli — mediante operazioni di somma e moltiplicazione per scalare — al fine di ottenere una nuova base. In altri termini, anche se i vettori trovati non appartengono esplicitamente alla base originale, essi possono essere utilizzati per generare una nuova base che conservi le stesse proprietà dello spazio vettoriale di partenza.

A titolo di esempio, in uno spazio vettoriale bidimensionale, ogni vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare di due vettori indipendenti, noti come vettori di base. Qualora si individuassero due vettori che non corrispondono esattamente a quelli della base originaria, ma che possano comunque essere combinati per coprire tutte le direzioni dello spazio, questi possono essere impiegati per costruire una nuova base, la quale consentirà di descrivere ogni altra direzione nello spazio in modo equivalente alla base originaria.

Dimostrazione. Questa rappresenta la prima dimostrazione "seria" del corso, si procederà per induzione.
Si considera come passo base \(m=0\), ciò significa che ci sono \(0\) vettori \(w_i\), quindi per ottenere una base di \(V\), è necessario prendere tutti e \(n\) vettori di \((v_1,...,v_n)\) dato che essi formano una base di \(V\); il teorema con \(m=0\) è valido.
Per utilizzare il passo induttivo, si suppone che il teorema sia vero, ossia che i vettori \(w_i\) linearmente indipendenti possano essere completati a una base di \(V\) aggiungendo alcuni vettori \(v_i\) della base di \(V\).
Per fare ciò, si considerano i vettori \(\{w_1,...,w_m, w_{m+1}\}\) linearmente indipendenti – si noti che si sta considerando che la definizione sia valida anche per un \(m'\) più grande di \(m\) per principio di induzione, ecco da dove sbuca \(m+1 \ \ (>m \ \ necessariamente)\) – e si asserisce che \((w_1,...,w_m,w_{m+1}, v_{m+2}, ..., v_n)\) è una base di \(V\).
Se ciò è vero, tutti i vettori in \((w_1,...,w_m,w_{m+1}, v_{m+2}, ..., v_n)\) sono linearmennte indipendenti, e quindi \(w_{m+1}=a_1w_1+...+a_mw_m+a_{m+1}v_{m+2}+...a_{n-1}v_n\).
Poichè \(w_{m+1}\) non è esprimibile come combinazione lineare di \(w_1,...,w_m\), almeno uno dei coefficienti dei vettori \(v_i\), ossia \(a_{m+1},...,a_n\), deve essere non nullo;altrimmenti si avrebbe che \(w_{m+1}=\vec{0}\), ciò sarebbe una informazione inutile.
Si suppone quindi, senza perdita di generalità dato che si può scegliere qualunque coefficiente dei vettori \(v_i\), che \(a_{m+1} \neq 0\). Si ha dunque:
\(w_{m+1}=a_1w_1+...+a_mw_m+a_{m+1}v_{m+2}+...a_{n-1}v_n\)
\(a_{m+1}v_{m+2}=-w_{m+1}-a_1w_1....-a_mw_m-...-a_{n-1}v_n\)
\(v_{m+2}=\frac{-w_{m+1}-a_1w_1....-a_mw_m-...-a_{n-1}v_n}{a_{m+1}}=-\frac{1}{a_{m+1}}(a_1w_{1}+...+a_mw_m+w_{m+1}+...+a_{n-1}v_n)\)
Ciò significa che \(v_{m+2}\in Span\{w_1,...,w_m,w_{m+1},...,v_n\}\). Poichè \(w_1,...,w_m,w_{m+1}\) sono linearmente indipendenti e \(v_{m+2} \notin Span \{w_1,...,w_{m+1}\}\) dato che è necessario aggiungerlo per ottenere una base di \(V\). Esso dovrebbe quindi appartenere solo a \(Span\{v_1,...,v_{m+2},...,v_n\}\), ma poichè i vettori \((v_1,...,v_{m+2},...,v_n)\) formano una base di \(V\), essi sono tutti linearmente indipendenti e dunque \(v_{m+2}\) è un vettore della base di \(V\) che può essere aggiunto ai vettori \(\{w_1,...,w_m,w_{m+1}\}\) per completarli a una base di \(V\).
Il passo successivo consiste nel mostrare che, in effetti, l’insieme \[(w_1, \dots, w_m, v_{m+2}, v_{m+3}, \dots, v_n)\] è linearmente indipendente e forma una base di \(V\). Poiché \(w_1, \dots, w_m, v_{m+2}, \dots, v_n\) sono linearmente indipendenti, è chiaro che ogni vettore della combinazione lineare di questi vettori può essere rappresentato in modo unico come combinazione lineare dei vettori stessi, e quindi formano una base di \(V\).

A questo punto, la base completa di \(V\) è costituita dai vettori \[(w_1, \dots, w_m, v_{j_1}, \dots, v_{j_{n-m}})\] ove \((v_{j_1}, \dots, v_{j_{n-m}})\) sono i vettori scelti nella base di \(V\) per completare la famiglia di vettori linearmente indipendenti \((w_1, \dots, w_m)\).

0◻
Anche in questo caso, l’eliminazione di Gauss offre un algoritmo per completare un insieme di vettori a una base di un dato spazio.

Esercizio. Provare a rappresentare graficamente il completamento di \(\{(1,0,2), (1,1,0)\}\) a base di \(\mathbb{R}^3\). In generale, cosa succede, intuitivamente, quando si completa un insieme di vettori a una base?

2.1.3 La dimensione

\([...]\) E sostanza è il sostrato, il quale, in un senso, significa la materia (dico materia ciò che non è un alcunché di determinato in atto, ma un alcunché di determinato solo in potenza), in un secondo senso significa l’essenza e la forma (la quale, essendo un alcunché di determinato, può essere separata con il pensiero), e, in un terzo senso, significa il composto di materia e di forma \([...]\).

\([...]\) la sostanza nel significato di sostrato e di materia [ὕλη, ýle] viene concordemente ammessa da tutti, ed essa è la sostanza che esiste in potenza, rimane da dire che cosa sia la sostanza delle cose sensibili come atto.

\([...]\) Dalle cose dette risulta chiaro che cosa sia la sostanza sensibile e quale sia il suo modo di essere: essa è, per un verso, materia, per un altro, forma e atto, e, per un terzo, è l’insieme di materia e di forma.

\([...]\) Non bisogna ignorare che, talora, non è chiaro se il nome indichi la sostanza come composto, oppure l’atto e la forma. Per esempio, non è chiaro se “casa” indichi il composto di materia e forma, ossia un riparo fatto di mattoni e di pietre disposte in questo determinato modo, oppure se significhi l’atto e la forma, ossia un riparo [...].

Ma questo, che per altro rispetto ha una notevole rilevanza, in relazione alla ricerca della sostanza sensibile non ne ha alcuna: infatti l’essenza appartiene alla forma e all’atto. \([...]\)

Non nutro una particolare simpatia nei confronti di Aristotele, anzi, il mio giudizio è ben distante dalla completa ammirazione; tuttavia, non è possibile fare a meno di riconoscerlo quale valido punto di partenza per un’analisi critico-filosofica delle strutture matematiche che, poco a poco, si dispiegano sotto il nostro sguardo. Bisogna, pertanto, fare i conti con lui, ignobilmente da me inserito.

Una conseguenza del teorema del completamento dà luogo al seguente teorema.

Tale asserzione costituisce il fondamento della concezione secondo la quale la dimensione di uno spazio vettoriale è, come già precedentemente affermato, indissolubilmente connessa al numero di vettori che compongono la base. Nonostante ciò, rimane ancora da chiarire in modo filosofico il significato preciso del termine dimensione, il quale necessita di una più accurata definizione.

In Algebra Lineare, la nozione di dimensione si presta ad una duplice interpretazione, la quale si articola in un’ottica algebrica e in una di natura geometrica. La dimensione algebrica è dà intendersi quale valore numerico che viene ad associarsi alla cardinalità della base, ossia al numero di vettori indipendenti costituenti l’insieme generatore dello spazio considerato. D’altro canto, la dimensione geometrica assume un significato che appare immediatamente evidente quando ci si limita a spazi delle consuete dimensioni empiriche, nei quali l’intuizione comune si radica nella percezione sensibile. Di contro, tale concetto si presenta di natura eminentemente controintuitiva qualora si faccia riferimento a spazi di dimensioni superiori, ove la comun intuizione umana non è più in grado di abbracciare la vastità dei costrutti, e ove la sensibilità si sveste del suo abituale dominio.

Per comprendere pienamente quanto asserito, si consideri il seguente esperimento mentale: si immagini di trovarsi nel corpo d’una formica, la quale si muove su una superficie piana. Diversamente da quanto accade nella consueta esistenza di tale insetto, si supponga che la formica sia capace di percepire unicamente due dimensioni, ossia, esclusivamente ciò che si manifesta sopra il piano stesso. In tal contesto, si immagini che una sfera, la quale inizialmente sfugge alla visione della formica, cada sul foglio e lo attraversi. La formica, deficiente in percezione, non potrà scorgere altro che le circonferenze — bidimensionali — della sfera, le quali appaiono come cerchi che vanno ad allargarsi e che si restringono progressivamente, ma mai la sfera in sé, nella sua interezza tridimensionale. Analogamente, l’esperienza nella contingenza umana, dovrebbe esser simile in grado quand’essa s’interfaccia con una dimensione maggiore.

Vi sono svariate modalità per pervenire a una comprensione intuitiva delle dimensioni superiori alla terza, tra cui si annovera, ad esempio, l’approccio costruttivo. Ond’evitare che la dissertazione si prolunghi eccessivamente, si rimanda il lettore all’immagine introduttiva di questo paragrafo, la quale fornisce una rappresentazione visiva idonea circa tale metodo.

Prima di procedere all’enunciazione di ulteriori definizioni e teoremi, è d’uopo chiarire in che modo sia possibile rappresentare geometricamente rette, piani e iperpiani mediante lo span.

Esercizio. Si rappresenti la retta \(r: (1,2) + Span \{ (-1,2)\}\).
Esercizio. Si rappresenti il piano \(\pi: (2,4) + Span \{ (3,2), (2,0)\}\).
Per l’intera durata del corso, si adotterà la convenzione \(P_0 \equiv O(0,...,0)\),poiché gli altri casi pertengono alla geometria affine.
Esercizio. Si rappresenti la retta \(r: O + Span \{ (1,2)\}\).

Con il termine base finita si intende un insieme di vettori, il cui numero, pur essendo eventualmente elevato, risulta essere finito; mentre una base infinita si considera tale qualora sia possibile estrarre da essa basi finite. Negli spazi vettoriali di dimensione infinita, numerosi strumenti che operano efficacemente in spazi di dimensione finita necessitano di modifiche affinché possano essere applicati in contesti infiniti. Il corso, pertanto, si concentrerà esclusivamente sugli spazi vettoriali di dimensione finita.
Esempio. Si consideri \(\mathbb{K}[x]:= \{ \text{polinomi nell'indeterminata x a coefficienti in } \mathbb{K}\}\), esso è un \(\mathbb{K}\)–spazio vettoriale. Due elementi di tale spazio potrebbero essere \(p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_1x+a_0\) e \(q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+ b_1x+b_0\). Questo spazio non ammette base finita, ossia non è finitamente generato.
Infatti, se si considera un insieme finito di polinomi in \(\mathbb{K}[x]:=\{p_1,...,p_k\}\), si dichiara che i polinomi hanno grado rispettivamente \(d_1,...,d_k\) e dunque ogni polinomio in \(Span\{ p_1,...,p_k\}\) ha grado minore o pari a \(\max \{d_1,...,d_k\}\).
Esempio. Si consideri \(\mathbb{K}[x]_{\leq d}:= \{ \text{polinomi nell'indeterminata x a coefficienti in } \mathbb{K} \text{ di grado minore o pari a d}\}\), esso è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{K}[x]\) a dimensione finita, infatti \(\dim_\mathbb{K}\mathbb{K}[x]_{\leq d}=d+1\) e una sua base è \(\mathcal{B} \equiv ( 1, x, x^2,...,x^d)\).
Osservazione. Uno spazio vettoriale \(V\) è finitamente generato se e solo se presenta \(\dim V\) finita.
Esercizio. Perchè \(\dim_\mathbb{K}\mathbb{K}[x]_{\leq d}=d+1\) e non \(d\)?

Un altro fatto considerevole è che la dimensione di uno spazio vettoriale dipende dal campo scalare considerato.

Esempio. Sia \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) un sottocampo e sia \(V \equiv \mathbb{R}\) uno spazio vettoriale. Allora \(\dim_\mathbb{R}(V)=1\) , poiché lo spazio è costituito da vettori a singola componente. D’altra parte, \(\dim_\mathbb{Q} (V)\) non è uguale a 1, poiché esistono numeri reali — ossia vettori — che sono indipendenti da \(\mathbb{Q}\), come ad esempio \(\sqrt{2}\) e \(\pi\) che non appartengono a \(\mathbb{Q}\). Pertanto, \(\dim_\mathbb{Q} (V)= \infty\), in quanto esistono infiniti numeri reali che non appartengono a \(\mathbb{Q}\), e dunque si ha che \(\dim_\mathbb{Q} (V)=1+ \infty \text{ numeri reali}= \infty\).
Esempio. Siano \(V\equiv \mathbb{K}^n\), \(W \equiv \mathbb{K}^0\) un \(\mathbb{K}\)–spazi vettoriali, allora \(\dim_\mathbb{K}V=n\) e \(\dim_\mathbb{K}W=0\).
Osservazione. \(W\) è lo spazio vettoriale banale, ossia ha base \(\mathcal{B} \equiv \emptyset\), dato che tutte le combinazioni lineari di \(\emptyset\) sono nulle e dunque tutti gli elementi sono linearmente indipendenti.

Esempio: Se \(I = \emptyset\), allora la somma su \(I\) è definita come:

\[\sum_{i \in \emptyset} f(i) = 0\]

Queste due affermazioni si implicano a vicenda, se vale una, vale anche l’altra.
Esempio. \(\mathbb{R}^3\) presenta una base di \(3\) vettori, mentre \(\mathbb{R}^n\) è dotato di una base di \(n\) vettori.

Esercizio. Dimostrare la proposizione appena data.
Un ulteriore fatto di rilievo è che due sottospazi vettoriali possono essere sommati o intersecati, ciò significa che essi non sono monadi, ma possono interagire tra loro.

Per pervenire ad una comprensione intuitiva delle varie proposizioni, è opportuno concepire gli spazi come rette o piani, in modo da ottenere una visione concreta di quanto accade nei diversi casi, laddove ciò sia possibile. Invero, una buona parte di noi matematici ripudia la realtà sensibile e di frequente va rifugiandosi negli iperspazi; tuttavia, anche questi, ahimè, per sopperire alla unheimlich, sono stati sottratti alla nostra sfera d’azione dai gentil signori fisici.

Osservazione. \(U+W \subset V\) è il più piccolo sottospazio vettoriale di \(V\) contenenete sia \(U\) che \(W\).
Esercizio guidato. Verificare che la seconda definizione proposta è ben definita:
.......................: \(\vec{0}+\vec{0}=... \in U+...\)
Chiusura rispetto alla somma: \((u+w)+(w'+...)=[(u+u')\in... \ +(w+...)\in W ] \in U+W\)
.......................: \(k(u+...)=ku+...w \in U+W\).
Dalla teoria dianzi esposta, si possono evincere con chiarezza le modalità attraverso le quali le dimensioni dei sottospazi vettoriali vanno a rapportano tra loro secondo armoniche relazioni. L’analisi approfondita della teoria e delle definizioni, permette al matematico di elevarsi oltre i confini dell’esperienza sensibile, sino a contemplare enti geometrici che, pur non manifestandosi ai sensi comuni, trovano esistenza certa nell’ordine astratto della ragione matematica. È in tal modo che viene resa possibile la formalizzazione di fenomeni concreti mediante quel rigore assiomatico e severo che il filosofo-matematico Bertrand Russell designò come la gelida beltà della matematica: una bellezza priva d’ornamenti, pura e implacabile nella sua logica interna.

A mo’ d’esempio, si consideri l’apparente paradosso per cui due rette, parallele nello spazio euclideo, vengano a incontrarsi in un punto allorché trasposte nello spazio proiettivo. Tale proposizione, che parrebbe contraddire l’intuizione comune, trova invece piena giustificazione nella struttura nascosta delle relazioni vettoriali dianzi discusse. Privati dell’ausilio di queste invisibili connessioni, siffatte affermazioni rimarrebbero non solo inespresse, ma invero inesplicabili. Il signor David Hilbert, un giorno lontano, forse incautamente, pronunciò la frase: Wir müssen wissen, wir werden wissen, ossia: Dobbiamo sapere, sapremo.

Dimostrazione. Si considera una base \(\mathcal{I}\equiv (i_1,...,i_n)\) dell’intersezione \(U \cap W\) e la si completa a base di \(U\), ossia \(\mathcal{I}_U \equiv (i_1,...,i_n, u_{1},..., u_m)\); completando \(\mathcal{I}\) a base di \(W\), si ottiene \(\mathcal{I}_W \equiv (i_1,..., i_n, w_{1},...,w_k)\).
Ciò significa che \(\dim U \cap W=n, \ \ \dim U=n+m, \ \ \dim W=n+k\), bisogna dunque dimostrare, per verificare la veridicità del teorema, che \(\dim U+W=(n+m)+(n+k)-n=n+m+k\). Per farlo, si dimostra che \(\mathcal{B}\equiv(i_1,...,i_n, u_{1},...,u_m,v_1,...,v_k)\) è una base di \(U+W\); ossia, bisogna dimostrare che l’insieme di vettori \(\mathcal{B}\) è un generatore di \(U+W\) a vettori linearmente indipendenti.
I vettori di \(\mathcal{B}\) generano \(U+W\) dato che ogni vettore di \(U\) è combinazione lineare dei vettori di \(\mathcal{B}\) e ogni vettore di \(W\) è combinazione lineare dei vettori di \(\mathcal{B}\).
Considerando \(a_1 i_1+...+a_ni_n+b_1u_1+...+b_mu_m+c_1w_1+...+c_kw_k= \vec{0}\), si ottiene:
\(a_1 i_1+...+a_ni_n+b_1u_1+...+b_mu_m+c_1w_1+...+c_kw_k= \vec{0}\)
\(a_1 i_1+...+a_ni_n+b_1u_1+...+b_mu_m= -c_1w_1-...-c_kw_k\).
Si nota però che \(a_1 i_1+...+a_ni_n+b_1u_1+...+b_mu_m=Span \{i_1,...,i_n,u_1,...,u_m\}\) è in \(U\) perchè ogni vettore di \(U\) è combinazione lineare di quei vettori, mentre \(-c_1w_1-...-c_kw_k=Span \{w_1,...,w_k\}\) è in \(W\) perchè ogni vettore di \(W\) è combinazione lineare di quei vettori.
Ciò significa che \(Span \{i_1,...,i_n,u_1,...,u_m\}=Span \{w_1,...,w_k\}\), ossia \(Span \{w_1,...,w_k\}\) appartiene anche a \(U\) e dunque \(Span \{w_1,...,w_k\} \in U \cap W\). Ma \(U \cap W \equiv Span \{ \mathcal{I}\}\).
Sia ora \(x:=-c_1w_1-...-c_kw_k\), è stato dimostrato che \(x \in U \cap W\) e quindi \(x\) può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base \(\mathcal{I}\), ossia \(x=d_1i_1+...+d_ni_n\). Mettendo a confronto le espressioni del vettore, si ottiene:
\(x=d_1i_1+...+d_ni_n=-c_1w_1-...-c_kw_k=a_1 i_1+...+a_ni_n+b_1u_1+...+b_mu_m\)
ossia \(d_1i_1+...+d_ni_n=a_1 i_1+...+a_ni_n+b_1u_1+...+b_mu_m\)
\(i_1(d_1-a_1)+...+i_n(d_n-a_n)=b_1u_1+...+b_mu_m\)
\(i_1(d_1-a_1)+...+i_n(d_n-a_n)-b_1u_1-...-b_mu_m= \vec{0}\)
Si osserva che \(\{i_1,...,i_n,u_1,...,u_m\}\) è una base di \(U\), quindi è linearmente indipendente e dunque l’unica combinazione lineare nulla si ha quando \(d_1-a_1=...=d_n-a_n=b_1=...=b_m=0\).
Facendo lo stesso per la parte in \(W\), ossia \(d_1i_1+...+d_ni_n=-c_1w_1-...-c_kw_k\), si ottiene che \(\{i_1,...,i_n,w_1,...,w_k\}\) è una base di \(W\), quindi è linearmente indipendente e dunque l’unica combinazione lineare nulla si ha quando tutti i coefficienti sono nulli.
Si ha dunque che \(b_1=...=b_m=c_1=...=c_k=0\) e che \(a_j = d_j\) per ogni \(j\), e quindi, dalla combinazione iniziale:

\[a_1 i_1 + \dots + a_n i_n = -d_1 i_1 - \dots - d_n i_n = -a_1 i_1 - \dots - a_n i_n,\]

ossia: \(2a_1 i_1 + \dots + 2a_n i_n = \vec{0}\).

Essendo \(\{i_1, \dots, i_n\}\) linearmente indipendenti, concludiamo che anche: \(a_1 = \dots = a_n = 0\). Essendo \(\{i_1,...,i_n\}\) linearmente indipendenti, si ha che \(a_1=...=a_n=0\).
Si conclude affermando che l’unica combinazione lineare nulla dei vettori di \(\mathcal{B}\) è quella a coefficienti tutti nulli e dunque \(\mathcal{B}\) è linearmente indipendente. Inoltre, come già detto, \(\mathcal{B}\) genera \(U+W\), pertanto \[\dim(U + W) = \dim\operatorname{Span}(\mathcal{B}) = n + m + k = (n + m) + (n + k) - n = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W),\]

ossia:

\[\dim(U \cap W) + \dim(U + W) = \dim U + \dim W.\] 0◻

Esercizio. Siano \(U\) e \(W\) due sottospazi di \(\mathbb{R}^3\), rappresentanti rispettivamente una retta e un piano, come mostrato in figura. Supposta nota la dimensione degli enti geometrici — punto: \(0\), retta: \(1\), piano: \(2\) — si richiede di determinare, per via grafica, le dimensioni dei sottospazi \(U\), \(W\), della loro intersezione \(U \cap W\) e della loro somma \(U + W\).
Si esorta altresì a distinguere visivamente, mediante colori differenti, i sottospazi \(U \cap W\) e \(U + W\).

Un’altra interazione interessante tra sottospazi vettoriali, è quella di somma diretta definita come segue.

Il seguente prospetto evidenzia le particolarità della somma diretta rispetto a quella comune.
Siano \(U, W \subseteq V\) due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\).

• Somma comune: \[U + W = \{ u + w \mid u \in U,\, w \in W \}\] In generale, la decomposizione \(v = u + w\) non è unica. Infatti, se \(U \cap W \neq \{0\}\), possono esistere \(u_1 \neq u_2 \in U\), \(w_1 \neq w_2 \in W\) tali che \(u_1 + w_1 = u_2 + w_2\).

• Somma diretta: \[U \oplus W = U + W \quad \text{con} \quad U \cap W = \{0\}\] In tal caso, ogni \(v \in U \oplus W\) ammette una unica scrittura come somma: \[v = u + w \quad \text{con } u \in U,\, w \in W\]

Nota. Se \(\dim V\) è finita e \(V \equiv U \oplus W\), allora \(\dim V= \dim U +\dim W\).
Una ovvia proposizione è la seguente.

Più in generale, quando uno spazio vettoriale \(V\) è somma diretta dei suoi sottospazi vettoriali \(U_1, \dots, U_n\), si scrive \[V \equiv U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_n \equiv \bigoplus_{i=1}^n U_i\] se \[V = U_1 + U_2 + \dots + U_n \quad \text{e} \quad U_i \cap \left( \sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^n U_j \right) = \{0\} \quad \text{per ogni } i = 1, \dots, n.\] Inoltre, se \(\mathcal{B_i}\) è una base di \(U_i\), vale che \(\bigcup_{i=1}^n B_i\) è una base di \(V\).
Esercizio. Mostrare che \[U_1 = \operatorname{Span}\{e_1\}, \quad U_2 = \operatorname{Span}\{e_2\}, \quad U_3 = \operatorname{Span}\{e_3\}\] sono in somma diretta e che \[\mathbb{R}^3 = U_1 \oplus U_2 \oplus U_3.\]
Esercizio. Decomporre lo spazio vettoriale \(V \equiv \mathbb{Q}^5\) come somma diretta di sottospazi vettoriali.

2.2 Anelli

\([...]\) “Sostanza” nel senso piú proprio, in primo luogo e nella piú grande misura, è quella che non si dice di un qualche sostrato, né è in un qualche sostrato, ad esempio, un determinato uomo, o un determinato cavallo. D’altro canto, sostanze seconde si dicono le specie, cui sono immanenti le sostanze che si dicono prime, ed oltre alle specie, i generi di queste. Ad esempio, un determinato uomo è immanente ad una specie, cioè alla nozione di uomo, e d’altra parte il genere di tale specie è la nozione di animale. \([...]\)

\([...]\) la ragione per cui le sostanze prime si dicono sostanze in massimo grado consiste nel fatto che esse stanno alla base di tutti gli altri oggetti, e che tutti gli altri oggetti si predicano di esse, oppure sussistono in esse. \([...]\)

\([...]\) È cosí giustificato, prescindendo dalle sostanze prime, che le specie e i generi siano i soli tra gli oggetti a dirsi “sostanze seconde”: tra i predicati, in effetti, essi solo rivelano la sostanza prima. Se qualcuno, invero, deve spiegare che cos’è un determinato uomo, dà una spiegazione appropriata fornendo la specie oppure il genere; d’altra parte, dichiarando che tale oggetto è “uomo”, lo rende piú noto di quanto non faccia dichiarando che è “animale”. Nel caso invece che costui fornisca una qualche altra nozione, dicendo ad esempio che un determinato uomo è “bianco” o “corre”, oppure facendo una qualsiasi altra dichiarazione consimile, avrà dato una spiegazione estranea all’oggetto. È di conseguenza giustificato che tra gli altri oggetti soltanto quelli nominati si dicano sostanze. \([...]\) Oltre a ciò, le sostanze prime sono sostanze nel senso piú proprio in quanto stanno alla base di tutti gli altri oggetti. Orbene, precisamente allo stesso modo con cui le sostanze prime si comportano rispetto a tutti gli altri oggetti, cosí si comportano rispetto a tutti i rimanenti le specie e i generi delle sostanze prime. In realtà, tutti i rimanenti oggetti vengono predicati delle specie e dei generi. Tu dirai infatti di un determinato uomo che è “grammatico”, e quindi dirai pure di uomo e di animale che è “grammatico”. Lo stesso vale per gli altri casi. \([...]\)

2.2.1 Il campo dei complessi

Prima di introdurre la nozione di anello nell’ambito dell’algebra astratta, ottenuta più familiriatà con enti astratti, è necessario fornire un ulteriore preliminare uitle al corso, un nuovo campo numerico fondamentale: quello dei numeri complessi.
Per acquisire una piena ed esatta comprensione degli argomenti presenti in questo paragrafo, si richiede imprescindibilmente il possesso di solide nozioni relative alla goniometria e alla trigonometria di base.

La più antica menzione di tali enti risale al I secolo a.C. ed è rintracciabile negli scritti di Erone d’Alessandria, ove se ne trova un riferimento nella determinazione del volume di una piramide tagliata da due piani non paralleli.

Una loro manifestazione in forma più strutturata è collocabile nel secolo XVI, allorché, affrontando il problema della risoluzione delle equazioni cubiche, Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano s’imbatterono, per necessità di calcolo, nell’impiego di radicali di quantità negative, sebbene il fine ultimo fosse il reperimento di soluzioni reali.

Tal fenomeno, invero, suscitò non poco stupore negli animi de’ matematici del tempo, già riluttanti ad accogliere nell’ordine delle quantità legittime persino i numeri negativi. Fu Rafael Bombelli a considerare per primo tali numeri con serietà e rigore, gettando le basi d’un’algebra coerente e stabilendo un primo sistema di regole atte a operar con essi, anticipando, in certa guisa, il linguaggio moderno.

Nel secolo seguente, René Descartes coniò la voce immaginario per designare queste forme numeriche, riflettendo l’opinione comune che le reputava non già enti reali, bensì mere finzioni del calcolo. La piena accettazione della loro natura e utilità non si compì che sul finire del secolo XVIII, quando Caspar Wessel, nella sua memoria presentata agli Atti dell’Accademia Reale di Copenhaghen nell’anno 1799, offrì una rappresentazione geometrica de’ numeri complessi, nitida e completa, degna d’esser posta accanto ai trattati più moderni. In detta memoria, l’autore giunge altresì a considerazioni d’ordine superiore, estendendo la teoria sino alla sfera e proponendo un sistema trigonometrico fondato sui quaternioni.

Nel 1804, l’abate Buée pervenne alla medesima idea già vagamente adombrata da John Wallis nel suo De Algebra tractatus (1685), secondo il quale l’unità immaginaria, vale a dire \({\sqrt {-1}}\), dovesse rappresentare una linea situata a metà fra un numero ed il suo opposto, e, soprattutto, perpendicolare all’asse reale.

1.1.3 Le applicazioni

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