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1.1 Insiemi e applicazioni

Fino ai tempi di Demetrio Falereo gli Ateniesi conservavano la nave su cui Teseo partì insieme coi giovani ostaggi e poi ritornò salvo, una trireme. Toglievano le parti vecchie del legname e le sostituivano con altre robuste, saldamente connettendole fra loro, in modo che essa serviva di esempio anche ai filosofi quando discutevano il problema della crescenza, sostenendo alcuni che era la stessa nave, altri che non era più la stessa.

Intuitivamente, un insieme può esser considerato come uno scatolone, il quale può contenere oggetti, detti elementi dell'insieme, o essere vuoto. In notazione, un insieme è rappresentato dalla definizione \( X:= \{ a,b,... \} \), ove \( X \) indica il nome dell'insieme e \( a,b,... \) indicano gli elementi in esso contenuti. L'insieme vuoto viene indicato convenzionalmente con \( X \equiv \emptyset \).

Una verità autoevidente considerata come assioma nella Teoria degli Insiemi, è il principio di estensione.

Il principio di estensione si chiama così perché stabilisce che un insieme è definito dalla sua estensione, cioè dai suoi elementi. Il termine "estensione" fa riferimento proprio all'insieme degli oggetti che compongono l'insieme stesso. Ad esempio, l'insieme \( A=\{Fichte, Hegel , Schelling\} \), ha come estensione\( \{Fichte, Hegel , Schelling\} \). Esistono notazioni standard per alcuni di questi insiemi, se ne elencano le principali ai fini del corso: Nota. Con \( \mathbb{N}_0 \) si indicherà l'insieme dei numeri naturali con \( 0 \) incluso. Per maggiori informazioni sulla costruzione degli insiemi numerici, fare riferimento alla dispensa Numeri.

Nel contesto del continuum reale, ovvero sull'insieme \( \mathbb{R} \), è possibile definire dei sottoinsiemi detti intervalli, che rappresentano insiemi di numeri compresi tra due estremi (eventualmente infiniti).

Intervalli limitati: (con estremi \( a, b \in \mathbb{R} \) e \( a \leq b \)):

intervallo chiuso: \([a,b] := \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \} \)

intervallo aperto: \((a,b) := \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \} \)

intervallo chiuso a sinistra, aperto a destra: \([a,b) := \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b \} \)

intervallo aperto a sinistra, chiuso a destra: \((a,b] := \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b \} \)

Intervalli illimitati: (con uno degli estremi infinito):

\[ [a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \}, \quad (a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \} \]

\[ (-\infty,a] := \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq a \}, \quad (-\infty,a) := \{ x \in \mathbb{R} \mid x < a \} \]

IMMAGINE

Questi insiemi sono fondamentali in analisi matematica, teoria della misura, topologia e in molte altre branche della matematica.

Si enunciano alcune definizioni dedotte dagli elementi di Logica già visti.

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Osservazione. Siano \( X, Y \) insiemi. Per il principio di estensione, \( X = Y \) se e solo se \( X \subseteq Y \) e \( Y \subseteq X \). L’osservazione fatta è banale, ma è utile tenerne conto quando si vuole decidere se due insiemi sono uguali: grazie all’osservazione data, si tratta di decidere se \( X \subseteq Y \) e \( Y \subseteq X \).
Dati gli insiemi \( X, Y \), si possono produrre altri insiemi a partire da \( X \) e \( Y \).

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L’unione e l’intersezione hanno senso anche per una famiglia arbitraria di insiemi \(X_i\) dove \(i\) è un elemento arbitrario in un insieme di indici \(I\).

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Ad esempio, si ha che: \[\mathbb{Z} \setminus \langle 2 \rangle = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ è dispari} \}, \quad X \setminus \emptyset = X, \quad \emptyset \setminus X = \emptyset.\]

Un esempio \(\mathbb{R}^n\) può essere l’insieme delle \(n\)-ple ordinate di numeri reali.

1.1.2 I diagrammi di Venn

Il diagramma di Venn costituisce una rappresentazione grafica delle relazioni logiche tra insiemi, la cui diffusione è attribuita a John Venn (1834–1923) negli anni Ottanta del XIX secolo. Esso rappresenta uno strumento fondamentale per l’insegnamento della teoria degli insiemi e trova applicazioni in ambiti quali probabilità, logica, statistica, linguistica e informatica.

Ad esempio, l’intersezione di due insiemi \(S\) e \(T\), indicata con \(S \cap T\), è rappresentata dalla zona di sovrapposizione delle rispettive curve.

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La differenza rispetto ai diagrammi di Euler consiste nel fatto che questi ultimi raffigurano unicamente le relazioni effettivamente esistenti tra gli insiemi, mentre i diagrammi di Venn rappresentano tutte le possibili combinazioni, comprese quelle corrispondenti a insiemi vuoti.

Nel corso del XX secolo furono sviluppati ulteriori risultati teorici, tra cui la costruzione di diagrammi con simmetria rotazionale per insiemi in numero primo, dimostrata da David Wilson Henderson e successivamente estesa da altri studiosi. L’impiego didattico dei diagrammi si intensificò con il movimento della new math degli anni Sessanta e si è consolidato fino a oggi, includendo applicazioni in discipline diverse dalla matematica, come la letteratura e la psicologia, grazie alla loro capacità di visualizzare in modo intuitivo relazioni complesse.

Dal punto di vista costruttivo, un diagramma di Venn è formato da curve che suddividono il piano in regioni distinte, ciascuna corrispondente a una combinazione di appartenenza o esclusione rispetto agli insiemi considerati. Questa caratteristica garantisce la rappresentazione di tutte le possibilità logiche, a differenza dei diagrammi di Euler. Tale proprietà conferisce ai diagrammi di Venn un ruolo di rilievo nella comprensione di operazioni insiemistiche quali unione, intersezione e complemento, oltre che nell’analisi logica e combinatoria.

IMMAGINE

Si noti che nei diagrammi appena illustrati che con \(U\) si intende l’insieme universo, un insieme che contiene tutti gli insiemi, e che con \(X'\) si intende il complementare di \(X\), ossia \(X'=X^C=\overline{X}\).

La differenza tra i diagrammi di Venn e di Euler può essere visualizzata come segue.

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1.1.3 Le applicazioni

L’insieme \(X\) è il dominio dell’applicazione \(f\) e l’insieme \(Y\) è il suo codominio.

Esercizio: Perchè \(f(n)=n-1\) con \(f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0\) è mal definita? Come può essere corretta?
Esercizio: Correggere la Figura 3.

Si supponga che \(f : X \to Y\) e \(g : Y \to Z\) siano applicazioni, si noti che il codominio di \(f\) è il dominio di \(g\). Allora è possibile definire un’applicazione da \(X\) a \(Z\) associando a \(x \in X\) l’elemento \(g(f(x))\) di \(Z\): questa è la composizione di \(f\) e \(g\), che si denota \(g \circ f\). Si deve porre molta attenzione all’ordine dato che in generale \(f \circ g\) non avrà senso perché \(X\) non sarà uguale a \(Z\)). In notazione si può scrivere \((g \circ f )(x) := g(f(x))\). Tramite diagramma a frecce può essere rappresentata come segue:

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Si noti che se \(f : X \to Y\) si ha: \[f \circ 1_X = 1_Y \circ f = f.\] Ciò giustifica la notazione \(1_X\) per l’applicazione identità: se si pensa alla composizione di applicazioni come analogo della moltiplicazione tra numeri, si nota che l’applicazione identità ha proprietà analoghe a quelle del numero 1.

Si supponga che \(f : X \to Y\), \(g : Y \to W\) e \(h : W \to Z\) siano applicazioni: hanno senso sia \((h \circ g) \circ f\) che \(h \circ (g \circ f)\), e sono entrambe applicazioni da \(X\) a \(Z\). Si ha che: \[(h \circ g) \circ f(x) = h(g(f(x))) = (h \circ (g \circ f))(x),\] e quindi la composizione di applicazioni gode della proprietà di associatività: \[(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f).\]

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Se \( B = \{ y_0 \} \), cioè è un insieme con un solo elemento, singleton o singoletto, si denota \( f^{-1}(\{ y_0 \}) \) con \( f^{-1}(y_0) \).

Una applicazione biunivoca è invertibile dato che ad ogni elemento del dominio corrisponde un elemento del codominio e viceversa.

Data un’applicazione \(f : X \to Y\), il grafico di \(f\) è il sottoinsieme \(\Gamma_f \subseteq X \times Y\) i cui elementi sono le coppie \((x, f(x))\), per ogni \(x \in X\).
Si osservi che se \(X = Y = \mathbb{R}\) e si associa a ciascuna coppia \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) il punto del piano cartesiano con coordinate \((x, y)\), allora il grafico così definito coincide con il grafico sul solito piano cartesiano.
In generale, il grafico \(\Gamma_f \subseteq X \times Y\) di una funzione \(f : X \to Y\) gode della seguente proprietà: per ogni \(x \in X\), esiste un unico elemento in \(\Gamma_f\) la cui prima componente è \(x\), ovvero esiste un’unica coppia della forma \((x, \_)\) in \(\Gamma_f\).
Osservazione. È possibile fornire una definizione formalmente precisa di applicazione \(f : X \to Y\) evitando il riferimento alla nozione intuitiva di "legge che associa...": si definisce un’applicazione come un sottoinsieme \(\Gamma \subseteq X \times Y\) che soddisfa la proprietà sopra descritta.
Esempio visivo: Grafico della funzione \(f(x) = x^2\) con dominio e codominio in \(\mathbb{R}\).

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Ogni punto del grafico rappresenta una coppia \((x, f(x)) \in \Gamma_f \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Ad esempio, il punto \((1,1)\) appartiene al grafico perché \(f(1) = 1\), così come \((-2,4)\) perché \(f(-2) = 4\).

1.1.4 Le relazioni

Intuitivamente, una relazione è un modo per collegare elementi di due insiemi diversi: si immagini di avere due gruppi di oggetti e una regola che indica quali oggetti di un gruppo vengono associati a quali oggetti dell’altro. Ad esempio, essa può riferire quali numeri sono più grandi di altri, oppure quali numeri si abbinano con i loro doppi. Queste relazioni aiutano a comprendere come gli oggetti sono connessi tra loro.

Esempio. Sia \(X\) un insieme finito e si definisca \(\mathcal{P}(X):=\{A: A \subset X\}\) insieme delle parti di \(X\). Si hanno le seguenti relazioni binarie:
\(\cdot\) relazione di inclusione: per ogni \(A,B \in \mathcal{P}(X)\), \(A \mathcal{R} B\) se \(A \subseteq B\);
\(\cdot\) relazione di equipotenza: per ogni \(A,B \in \mathcal{P}(X)\), \(A \sim B\) se \(\# (A)=\#(B)\).
\(\cdot\)relazione di divisione (in \(\mathbb{N}\)): \(n | m\), si legge n divide m, se per definizione \(n\) è un divisore di \(m\).
Esistono due tipologie di relazione particolarmente importanti, quelle di ordine e di equivalenza.

Esempio. Sia \(X\) un insieme e sia \(\mathcal{P}(X)\) l’insieme delle parti di \(X\), cioè l’insieme dei suoi sottoinsiemi. Sia \(R \subseteq \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X)\) il sottoinsieme delle coppie \((A, B)\) tali che \(A \subseteq B\). La relazione \(\mathcal{R}\) è detta relazione d’inclusione, e invece di scrivere \(A \, \mathcal{R} \, B\), si usa direttamente \(A \subseteq B\).
Una relazione d’ordine si dice totale se, oltre le precedenti proprietà, per ogni \(x,y \in X \ \ x \mathcal{R} y \ \ \vee \ \ y \mathcal{R} x\).
Esempio. Sia \(R \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) il sottoinsieme delle coppie \((x, y)\) tali che \(x - y \geq 0\). La relazione \(R\) rappresenta la relazione “essere non più piccolo” e, invece di scrivere \(x \, R \, y\), si preferisce la notazione usuale \(x \geq y\).
Quindi una relazione d’ordine totale implica che ogni coppia di elementi in un insieme possa essere confrontata, mentre una relazione d’ordine parziale consente che alcuni elementi non siano confrontabili tra loro. In altre parole, in un ordine totale, per ogni due elementi \(a\) e \(b\) nell’insieme, o \(a\) è correlato a \(b\), o \(b\) è correlato ad \(a\) (o entrambi). In un ordine parziale, invece, potrebbero esserci coppie di elementi per le quali nessuna delle due relazioni vale.

Ordine totale: Si immagini di avere dei numeri, come 3, 5 e 7. È sempre possibile comprendere quale numero è più piccolo o più grande rispetto a un altro (ad esempio \(3 < 5\), \(5 < 7\), ecc.). Qui, ogni coppia di numeri è confrontabile, quindi si tratta di un ordine totale.

Ordine parziale: Si immagini di avere delle forme: un cerchio, un quadrato e un triangolo. Si può affermare che un cerchio è più “rotondo” di un quadrato, ma non è possibile, con questo criterio, confrontare adeguatamente un quadrato con un triangolo. Qui, alcune coppie non si possono confrontare, quindi si tratta di un ordine parziale.

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Spesso una relazione di equivalenza su un insieme \(X\) si denota con il simbolo “\(\sim\)”, ovvero si scrive \(x_1 \sim x_2\) invece di \(x_1 \, R \, x_2\). A partire da una relazione di equivalenza \(\sim\) è possibile costruire un nuovo insieme i cui elementi sono sottoinsiemi di \(X\), detti classi di equivalenza.

Dato un elemento \(x_0 \in X\), la classe di equivalenza di \(x_0\) rispetto alla relazione \(\sim\) è definita come: \[[x_0] := \{ x \in X \mid x \sim x_0 \}.\]

Quando non ci sono possibilità di ambiguità, si parla semplicemente della classe di equivalenza di \(x_0\), omettendo il riferimento esplicito alla relazione \(\sim\). In alternativa, la classe può essere indicata anche con lo stesso simbolo \(x_0\), se il contesto lo consente. L’elemento \(x_0\) è detto un rappresentante della classe \([x_0]\).

Intuitivamente, è possibile pensare alle classi di equivalenza come a dei divisori all’interno di una scatola, i quali separano gli oggetti in base a una determinata caratteristica. Ciascuna sezione della scatola rappresenta quindi una classe distinta di oggetti e viene considerata come un unico insieme. Ad esempio, se i divisori vengono costruiti in base al colore degli oggetti, non importa la tipologia di oggetto pescata, ma solamente il colore: un triangolo rosso è dunque uguale a un cerchio rosso secondo questa divisione.

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Esempio. Si considera l’insieme \(\mathbb{Z}\) e la relazione di congruenza modulo 2. In questo caso, due interi \(x\) e \(y\) sono equivalenti se \(x \equiv y \pmod{2}\), ovvero se hanno lo stesso resto nella divisione per 2. Esistono esattamente due classi di equivalenza:

• la classe degli interi pari: \([0] = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv 0 \pmod{2} \}\),

• la classe degli interi dispari: \([1] = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv 1 \pmod{2} \}\).

Alcuni esempi significativi sono i seguenti:

• Uguaglianza. La relazione di uguaglianza \(=\) è una relazione di equivalenza definita su qualsiasi insieme \(X\), poiché ogni elemento è uguale a se stesso (riflessività), se \(x = y\) allora \(y = x\) (simmetria), e se \(x = y\) e \(y = z\), allora \(x = z\) (transitività).

• Equipotenza. Sia \(\mathcal{P}(X)\) l’insieme delle parti di un insieme \(X\). Si dice che due sottoinsiemi \(A, B \in \mathcal{P}(X)\) sono equipotenti se esiste una biiezione \(f: A \to B\). La relazione di equipotenza \(A \sim B\) è una relazione di equivalenza su \(\mathcal{P}(X)\), poiché:

  • ogni insieme è biiettivo con se stesso (identità);

  • se \(A \sim B\), allora \(B \sim A\) (inversa della biiezione);

  • la composizione di due biiezioni è una biiezione (transitività).

Osservazione. Le classi di equivalenza formano una partizione dell’insieme.

Un fatto importante sulle relazioni è che tramite esse è possibile costruire rappresentazioni concrete di certi ambienti; ad esempio il grafico sottostante rappresenta nel piano cartesiano la relazione \(R \subseteq \mathbb{R}^2\) definita come \(R = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^{2} + 2x y^{3} = 3 \}.\)

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Questa relazione rappresenta l’insieme dei punti \((x,y)\) che soddisfano l’equazione implicita data.
Si lasciano le riflessioni al lettore, ma anche ciò è la rappresentazione di una certa relazione:

1.1.5 Passaggio al quoziente

Il passaggio al quoziente è come un processo di astrazione, ove si prendono gli elementi originali di un certo insieme e li si raggruppano in delle classi di equivalenza. Successivamente, si considera ogni classe di equivalenza come un singolo elemento di un insieme detto quoziente.

Le classi di equivalenza rispetto a \(\mathcal{R}\) formano una partizione di \(X\), ovvero valgono le seguenti proprietà: \[\bigcup_{x \in X} [x]_{\mathcal{R}} = X,\] e per ogni \(x,y \in X\), \[[x]_{\mathcal{R}} \cap [y]_{\mathcal{R}} = \emptyset \quad \text{oppure} \quad [x]_{\mathcal{R}} = [y]_{\mathcal{R}}.\]

In particolare, \[[x]_{\mathcal{R}} \cap [y]_{\mathcal{R}} \neq \emptyset \implies [x]_{\mathcal{R}} = [y]_{\mathcal{R}}.\]

Data un’applicazione tra insiemi \[f : X \longrightarrow Y,\] è possibile definire su \(X\) una relazione di equivalenza \(\sim\), ponendo: \[x \sim y \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = f(y).\] Questa relazione permette di raggruppare gli elementi di \(X\) che vengono mandati nello stesso elemento di \(Y\) tramite \(f\).

Per ogni \(x \in X\), la classe di equivalenza associata è data da: \[[x]_\sim = \{ x' \in X \mid f(x') = f(x) \} = f^{-1}(f(x)),\] ossia l’intera fibra di \(f\) sopra \(f(x)\).

IMMAGINE

In simboli, questo si esprime tramite il seguente diagramma:

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Inoltre, l’applicazione \(f\) può essere fattorizzata nel seguente modo: \[f: X \xrightarrow{f_0} X / \sim \xrightarrow{f_1} \operatorname{Im}(f) \xrightarrow{\iota} Y,\] dove:

• \(f_0 : x \mapsto [x]_\sim\) è l’applicazione quoziente (suriettiva),

• \(f_1 : [x]_\sim \mapsto f(x)\) è biunivoca (ben definita, poiché \(f\) è costante su ogni classe),

• \(\iota : \operatorname{Im}(f) \hookrightarrow Y\) è l’inclusione canonica (iniettiva).

Questa decomposizione mostra chiaramente come ogni funzione possa essere vista come la composizione di:

1. un passaggio a classi di equivalenza (raggruppamento degli elementi con stessa immagine),

2. una corrispondenza biunivoca tra classi e immagini,

3. un’immersione nell’insieme codominio.

In questo modo, l’applicazione \(f\) induce una struttura naturale di partizione su \(X\), rendendo esplicita la corrispondenza tra elementi indistinguibili da \(f\).

Questo è l’insieme di tutti gli interi che sono congruenti a \(k\) modulo \(m\).

Inoltre, il quoziente \(\mathbb{Z}/m\) è l’insieme delle classi di equivalenza modulo \(m\), cioè: \[\mathbb{Z}/m = \{ [k]_m \mid k \in \{0,1,...,m-1\} \}.\] Ogni elemento di \(\mathbb{Z}/m\) rappresenta una classe di equivalenza di numeri interi congruenti tra loro modulo \(m\).

Sia \(f: X \to Y\) un’applicazione e \(\mathcal{R}\) una relazione di equivalenza in \(X\). Si dice che l’applicazione \(f\) passa al quoziente se esiste una applicazione \(\tilde{f}: X / \mathcal{R} \to Y\) tale che il diagramma seguente commuta:

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dove \(\pi: X \to X / \mathcal{R}\) è la proiezione canonica, definita da \(\pi(x) = [x]_\mathcal{R}\) per ogni \(x \in X\). In altre parole, \(\tilde{f}\) è ben definita se e solo se, per ogni \(x, y \in X\), \(x \mathcal{R} y\) implica \(f(x) = f(y)\), cioè \(f\) è costante sulle classi di equivalenza definite dalla relazione \(\mathcal{R}\).

In termini più semplici, l’applicazione \(f\) "passa al quoziente" se la funzione \(f\) induce un’applicazione ben definita tra il quoziente \(X / \mathcal{R}\) e \(Y\), preservando le classi di equivalenza.

Dimostrazione. Sia \(\mathcal{R}\) una relazione di equivalenza su un insieme \(X\). Per dimostrare che le operazioni di somma e prodotto passano al quoziente in \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\), dobbiamo verificare che esistano applicazioni ben definite tra le classi di equivalenza per ciascuna operazione. In altre parole, dobbiamo mostrare che se due elementi sono equivalenti rispetto alla relazione \(\mathcal{R}\), allora le loro immagini sotto l’operazione (somma o prodotto) sono anch’esse equivalenti.

1. Caso della somma.

Si considera l’insieme \(\mathbb{Z}\) (lo stesso ragionamento vale per \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\)) e si suppone che \(\mathcal{R}\) sia una relazione di equivalenza su \(\mathbb{Z}\), ad esempio la congruenza modulo \(n\), ovvero \(x \sim y \iff x - y \in n\mathbb{Z}\).

Si vuole dimostrare che l’operazione di somma \(+\) passa al quoziente. Cioè, se \(x \sim x'\) e \(y \sim y'\), allora \(x + y \sim x' + y'\).

Si suppone che \(x \sim x'\) e \(y \sim y'\). Per definizione della relazione \(\sim\), questo significa che: \[x - x' \in n\mathbb{Z} \quad \text{e} \quad y - y' \in n\mathbb{Z}.\] Su sommano le due equazioni: \[(x + y) - (x' + y') = (x - x') + (y - y') \in n\mathbb{Z}.\] Poiché la somma di due numeri divisibili per \(n\) è anch’essa divisibile per \(n\), si ha che \((x + y) - (x' + y') \in n\mathbb{Z}\). Pertanto, \(x + y \sim x' + y'\), e l’operazione di somma passa al quoziente.

2. Caso del prodotto.

Si suppone che \(\mathcal{R}\) sia sempre la congruenza modulo \(n\) in \(\mathbb{Z}\). Si vuole dimostrare che se \(x \sim x'\) e \(y \sim y'\), allora anche \(x \cdot y \sim x' \cdot y'\).

Si suppone che \(x \sim x'\) e \(y \sim y'\), cioè: \[x - x' \in n\mathbb{Z} \quad \text{e} \quad y - y' \in n\mathbb{Z}.\] Si moltiplicano le due equazioni: \[x \cdot y - x' \cdot y' = (x - x') \cdot y + x' \cdot (y - y') \in n\mathbb{Z}.\] Poiché \((x - x') \cdot y \in n\mathbb{Z}\) e \(x' \cdot (y - y') \in n\mathbb{Z}\) (perché \(x'\) e \(y - y'\) sono divisibili per \(n\)), la somma di questi due termini è anch’essa divisibile per \(n\). Quindi, \(x \cdot y - x' \cdot y' \in n\mathbb{Z}\), e quindi \(x \cdot y \sim x' \cdot y'\). 0◻
Conclusa questa carrellata teorica su nozioni di algebra astratta, non richiesta per intero ai fini del corso, è possibile evidenziare i fatti più concreti dei quali si farà spesso uso: gli orologi. I seguenti esercizi illustrano alcune tecniche per risolvere gli esercizi assegnati.

Nella vita quotidiana, quando si legge l’orologio analogico, la conversione avviene naturalmente: si sa che le ore 15:00 corrispondono alle ore 3:00 del pomeriggio.

Esercizio guidato. Si calcolino i seguenti valori \[33 \equiv ? \mod 16\] Il multiplo di \(16\) più vicino a \(33\) è \(32\), dunque \(?=33-32=1\)

\[48 \equiv ? \mod 12\] Il multiplo di \(...\) più vicino a \(...\) è \(...\), dunque \(?=...-...=...\) \[123 \equiv ? \mod 11\] Il multiplo di \(...\) più vicino a \(...\) è \(...\), dunque \(?=...-...=...\) \[138780 \equiv ? \mod 10\] Il multiplo di \(...\) più vicino a \(...\) è \(...\), dunque \(?=...-...=...\) .

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1.2 Lo spazio e i sistemi lineari

Roads? Where we’re going we don’t need roads!

Con questo capitolo si varcano le soglie dell’Algebra Lineare; prima di disquisire circa questa oscura branca della Matematica, è ancora necessaria qualche nozione preliminare: quella di spazio delle soluzioni di un sistema lineare.

1.2.1 Lo spazio vettoriale

Generalmente, in Matematica, con spazio si intende un insieme con qualche caratteristica particolare che lo dota di struttura, al momento, senza entrare nei dettagli, si offre una prima definizione intuitiva di spazio vettoriale reale.

Prima di dare una definizione di spazio vettoriale, è necessario comprendere cosa sia un vettore.

In matematica, qualsiasi ente può essere considerato tramite un vettore: un polinomio, una matrice, un aeroplano...

Per comprendere il motivo di ciò, è utile indagare l’origine etimologica del termine vettore: la parola vettore deriva dal latino vector, vectoris, che significa “colui che trasporta” o “trasportatore”. A sua volta, proviene dal verbo vehere, che significa “portare”, “trasportare”.

Un vettore è dunque un qualsiasi ente in grado di trasportare informazioni: in un vettore è possibile inserire le informazioni numeriche relative a una qualunque situazione, al fine di manipolarle matematicamente. Lo spazio vettoriale è il luogo in cui vivono questi vettori.

Un esempio di questa astrazione numerica di alcune caratteristiche tratte da un oggetto empirico avviene continuamente nei devices di tutti i giorni; si pensi, ad esempio, a quando si desidera modificare un’immagine ruotandola: l’immagine viene automaticamente suddivisa in piccoli puntini colorati, detti pixel. Il colore di ciascun pixel viene rappresentato numericamente all’interno delle celle di un tensore — che, per il momento, verrà considerato come una generalizzazione del concetto di vettore.

Questo tensore viene poi trasformato da un’applicazione, in questo caso la rotazione di \(n\) gradi, operante in uno spazio tensoriale. Il nuovo tensore ottenuto tramite tale trasformazione viene infine riconvertito in un’immagine visibile.

Quindi, intuitivamente – per il corso – un vettore può essere considerato come una sequenza di scalari – numeri – ordinati.
Esempio. \((1,0,0)\) è un vettore di uno spazio vettoriale tridimensionale.
Esempio. \((a,b,c,d)\) è un vettore di uno spazio vettoriale quadridimensionale.
Esercizio. Rappresentare in un vettore, seguendo l’ordine indicato nell’immagine, la disposizione dei colori della seguente opera.

(a) Si indichi il bianco con il numero 0, il rosso con il numero 1, il blu con il numero 2, il nero con il numero 3, il giallo con il numero 4.
(b) Si indichi il bianco con \(\star\), il rosso con \(\ast\), il blu con \(\bowtie\), il nero con \(\propto\), il giallo con "Van Gogh".
Compreso il concetto di questo potente strumento, é possibile dare un’occhiata al mondo, con le proprie leggi fisiche, in cui essi vivono e interagiscono tra loro: lo spazio vettoriale.

Intuitivamente, uno spazio vettoriale può essere immaginato come un insieme di vettori – indicati con delle frecce – dispiegati da un punto detto origine \(O\), generalmente essa coincide con \(O\equiv (0,...,0)\).

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In generale, conviene immaginare i vettori come dei punti, ossia il punto corrispondente alla punta della freccia; non per nulla la posizione dei punti e dei vettori è espressa tramite la medesima notazione \((...,...,...)\).

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Altri dettagli sugli spazi vettoriali verranno trattati in seguito grazie concetto di campo; al momento si danno delle nozioni sul funzionamento delle operazioni in uno spazio vettoriale.

La somma di due vettori può essere rappresentata graficamente mediante la regola del parallelogramma oppure la regola punta-coda: si posiziona la coda di \(\vec{v}\) sulla punta di \(\vec{u}\) e il vettore risultante \(\vec{u} + \vec{v}\) va dall’origine alla punta di \(\vec{v}\) così traslato.

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Esempio. \((1,2,3)+(-3, 3, 5)=(-2,5,8)\).
Esercizio. Rappresentare, sul piano cartesiano, mediante frecce e punti, l’esempio appena dato.

Moltiplicare un vettore per uno scalare ne cambia il modulo –lunghezza – e, se \(\alpha < 0\), anche il verso. Se \(\alpha = 1\), il vettore resta invariato; se \(\alpha = 0\), il vettore diventa il vettore nullo.

IMMAGINE

Esempio. \(-2(1,2,-3)=(-2,-4,6), \ \ \ \frac{1}{2}(1,2,-3)=(\frac{1}{2}, 1,\frac{-3}{2})\ \ \).
Esercizio. Rappresentare, sul piano cartesiano, mediante frecce e punti, l’esempio appena dato.

1.2.2 Insieme delle soluzioni di sistemi lineari

I sistemi lineari nascono naturalmente quando si devono determinare valori incogniti soggetti a più vincoli lineari.

Questo tipo di situazione si presenta ovunque: in economia, ingegneria, informatica, ecc. La teoria dei sistemi lineari fornisce strumenti sistematici per risolvere questi problemi anche quando ci sono molte più equazioni e incognite. L’algebra lineare permette, tramite i suoi strumenti, la semplificazione di questi sistemi.

Il sistema è detto:

• omogeneo se tutti i termini noti sono nulli, cioè \(b_1 = b_2 = \dots = b_m = 0\);

• non omogeneo altrimenti.

Una soluzione del sistema è un \(n\)-upla \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) che soddisfa tutte le equazioni contemporaneamente.

Come al solito, si cerca di semplificare il più possibile l’oggetto a disposizione mantenendo solamente le informazioni essenziali; nei sistemi queste informazioni sono i coefficienti \((a_{ij})\), le incognite \((x_i)\) e i termini noti \((b_i)\). Le incognite e i termini noti possono essere rappresentati tramite dei vettori \(x=(x_1,...,x_n)\) e \(b=(b_1,...,b_m)\), mentre per i coefficienti \((a_{ij})\), dato che hanno due indici, è necessario introdurre un nuovo oggetto, una estensione del vettore: una matrice.

Una matrice, l’argomento verrà ripreso in seguito, altro non è che una tabella di scalari, ha righe e colonne, a differenza del vettore che è una linea di scalari.

Anche la matrice può essere ulteriormente estesa divenendo una sorta di parallelepipedo a celle, per semplicità queste estensioni vengono chiamate tensori: uno scalare è uno 0–tensore, un vettore è un 1–tensore, una matrice è un 2–tensore, e così via.

Esercizio. Pensare a come inserire in un \(n-tensore\) l’informazione circa il colore di ogni quadratino del cubo di Rubik. Qual è il valore assunto da \(n\)?

Tornando ai sistemi lineari, un sistema lineare può essere riscritto in forma compatta tramite le matrici.

Esercizio. Si provi ad intuire il prodotto riga-colonna tra matrice e vettore e tra matrice e matrice; in sostanza, come si ottiene da un prodotto una delle equazioni del sistema?
In generale, un sistema lineare con \(m\) equazioni e \(n\) incognite può essere scritto nella forma:

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}\]

Questo sistema può essere espresso come:

\[A \vec{x} = \vec{b}\]

ove:

• \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) è la matrice dei coefficienti: \[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

• \(\vec{x} \in \mathbb{R}^n\) è il vettore colonna delle incognite: \[\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\]

• \(\vec{b} \in \mathbb{R}^m\) è il vettore dei termini noti: \[\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}\]

Per facilitare le operazioni di risoluzione algebrica, si costruisce la matrice aumentata (completa) associata al sistema, indicata con \((A \, | \, \vec{b})\):

\[\left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \end{array} \right)\]

Questa matrice rappresenta in modo compatto sia i coefficienti delle incognite che i termini noti, ed è la base per i metodi risolutivi come l’eliminazione di Gauss o l’algoritmo di Gauss-Jordan.

Geometricamente, un sistema lineare è formato da equazioni che rappresentano rette (in \(\mathbb{R}^2\)), piani (in \(\mathbb{R}^3\)), o iperpiani (in \(\mathbb{R}^n\)). La sua soluzione corrisponde all’intersezione di questi enti geometrici.

IMMAGINE

Si ricorda che un sistema lineare omogeneo ha la forma:

\[A\vec{x} = \vec{0}\]

ove: \(\vec{0} \in \mathbb{R}^m\) è il vettore nullo.

L’insieme delle soluzioni del sistema è dato da:

\[\mathcal{S} = \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \,\middle|\, A\vec{x} = \vec{0} \right\}\]

Questo insieme è chiamato nucleo (o kernel) della matrice \(A\), e si denota con: \(\mathcal{S} = \ker A\)

L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo ha sempre le seguenti proprietà:

• Contiene sempre almeno la soluzione banale \(\vec{x} = \vec{0}\).

• È un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^n\).

• La sua dimensione è detta nullità della matrice \(A\): \[\dim(\ker A) = n - \operatorname{rg}(A)\]

Geometricamente, le soluzioni formano:

• una retta passante per l’origine, se la dimensione del nucleo è 1;

• un piano passante per l’origine, se la dimensione è 2;

• più in generale, uno spazio lineare passante per l’origine in \(\mathbb{R}^n\).

IMMAGINE

Le informazioni non comprese alla prima lettura verranno chiarite successivamente, sono state riportate per comodità di ri–lettura.

Esercizio. Provare a comprendere cosa sia lo Span dall’esempio.
Suggerimento: Si pensi alla lunghezza dei vettori.
Esercizio. Rappresentare il sistema su un calcolatore 3d. Si consigliando Desmos e Geogebra.
Un sistema lineare non omogeneo ha la forma:

\[A\vec{x} = \vec{b}, \quad \text{con } \vec{b} \neq \vec{0}\]

Se il sistema è compatibile o consistente (cioè ammette almeno una soluzione, se non ammette soluzioni si dice incompatibile o inconsistente), allora l’insieme delle soluzioni si può scrivere come:

\[\mathcal{S} = \vec{x}_p + \ker A\]

ove:

• \(\vec{x}_p\) è una soluzione particolare del sistema \(A\vec{x} = \vec{b}\);

• \(\ker A\) è l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato \(A\vec{x} = \vec{0}\).

Geometricamente, l’insieme delle soluzioni è una traslazione del nucleo della matrice. Non è più un sottospazio vettoriale, ma un sottospazio affine, cioè:

• un punto, una retta, un piano, ecc., che non passa per l’origine;

• ha la stessa direzione di \(\ker A\), ma è “spostato” tramite \(\vec{x}_p\).

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Il sistema \(A\vec{x} = \vec{b}\) ammette soluzioni se e solo se il vettore \(\vec{b}\) appartiene allo spazio colonna (o immagine) della matrice \(A\), cioè:

\[\vec{b} \in \operatorname{Im}(A)\]

1.2.3 Eliminazione di Gauss

Non è necessario fornire lunghe spiegazioni per comprendere che, se in un sistema lineare si scambia l’ordine delle equazioni, l’insieme delle soluzioni rimane invariato. Infatti, l’ordine in cui le equazioni vengono scritte non influisce sulla loro validità né sulla loro intersezione comune, che è ciò che determina la soluzione del sistema. Lo stesso vale nel caso in cui si elimini o si aggiunga un’equazione che è combinazione lineare delle altre: tale equazione non apporta nuova informazione al sistema, in quanto è già implicita nelle equazioni preesistenti.

Queste semplici, ma fondamentali osservazioni conducono naturalmente a un metodo sistematico per la risoluzione dei sistemi lineari. Si tratta di un procedimento noto fin dall’antichità in Cina con il nome di Fāngchéng, documentato in testi risalenti a oltre duemila anni fa. Questo metodo fu poi riscoperto, in modo indipendente, dal matematico Carl Friedrich Gauss all’inizio del XIX secolo, e oggi è comunemente noto come eliminazione di Gauss.

Alla base di questo procedimento vi è un teorema fondamentale dell’algebra lineare, che giustifica l’applicazione di particolari operazioni alle righe di un sistema — ovvero alle sue equazioni — senza alterarne l’insieme delle soluzioni. Tali operazioni, dette operazioni elementari sulle righe, includono:

• Scambio di due equazioni (righe);

• Moltiplicazione di un’equazione per un numero reale non nullo;

• Somma di un multiplo di un’equazione a un’altra equazione.

Applicando iterativamente queste operazioni, si può trasformare il sistema originario in una forma più semplice, spesso triangolare, dalla quale le soluzioni si possono ottenere per sostituzione all’indietro. Il procedimento non solo è algoritmico, ma è anche alla base dei moderni metodi computazionali per la risoluzione di sistemi lineari.

Prima di illustrare con un buon esempio in cosa consiste questo metodo, si danno alcune definizioni utili per comprendere la terminologia di quanto detto sopra.

La definizione di combinazione lineare verrà enunciata nella prossima unità, al momento ci si concentri al comprendere intuitivamente quanto avviene e provare a definirla da sè.

Esercizio. La classica eliminazione di Gauss, nell’esempio proposto, si sarebbe fermata alla triangolare superiore \(\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \end{array} \right)\) . Continuare la risoluzione da questo punto tramite il metodo di sostituzione dopo esser passati dalla forma matriciale a quella estesa.

Osservazione. In ogni riga non nulla della matrice a gradini, il primo numero diverso da zero da sinistra prende il nome di pivot (o elemento guida). L’insieme dei pivot individua una struttura "a scalini" o "a gradini", utile per l’analisi del sistema lineare associato.

Il numero di pivot presenti in una matrice a gradini corrisponde al rango della matrice, ovvero al numero massimo di righe linearmente indipendenti.

Ad esempio, nella matrice:

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

i pivot si trovano nelle posizioni \(a_{11} = 1\), \(a_{22} = 1\), \(a_{33} = 4\). La riga finale è nulla, quindi il rango della matrice è 3. Dal rango è possibile capire quanti parametri liberi sono presenti nell’insieme della soluzione di un sistema, in questo caso ci sarebbero \(4-3=1\) parametri liberi. In generale \(\#parametri\ \ liberi = \#righe \ -\ rango\) .

La forma a gradini è particolarmente utile nella risoluzione di sistemi lineari tramite il metodo di eliminazione di Gauss, perché consente di applicare la sostituzione all’indietro partendo dall’ultima riga contenente un pivot.

Le operazioni elementari sulle righe di una matrice aumentata (cioè la matrice dei coefficienti affiancata al vettore dei termini noti) non alterano l’insieme delle soluzioni del sistema lineare. Questo implica che:

In particolare, il metodo di eliminazione di Gauss sfrutta proprio questa proprietà: si applicano operazioni di riga per trasformare il sistema in una forma più semplice (di solito una matrice a gradini), senza cambiare l’insieme delle soluzioni.

La nozione di matrici equivalenti è più generale: riguarda solo le trasformazioni sulla parte dei coefficienti. Due matrici equivalenti non rappresentano necessariamente sistemi con le stesse soluzioni (a meno che si consideri anche il vettore dei termini noti). Perciò, è più corretto parlare di equivalenza tra sistemi quando si lavora con matrici complete.

1.2.4 Enunciato del teorema di Rouché-Capelli

Uno degli obiettivi fondamentali nello studio dei sistemi lineari è determinare se un sistema è compatibile (cioè ammette almeno una soluzione) oppure incompatibile (nessuna soluzione). Il teorema di Rouché-Capelli fornisce un criterio semplice ed efficace per rispondere a questa domanda, basato sul concetto di rango di una matrice.

Ogni sistema lineare può essere associato a due matrici:

• la matrice dei coefficienti \(A\), contenente solo i coefficienti delle incognite;

• la matrice aumentata \((A|b)\), ottenuta aggiungendo a \(A\) una colonna contenente i termini noti \(b\).

L’idea centrale è confrontare il rango di \(A\) con quello di \((A|b)\):

• Se i due ranghi coincidono, il sistema è compatibile (ammette soluzioni).

• Se i ranghi sono diversi, il sistema è incompatibile (nessuna soluzione possibile).

Inoltre, se il sistema è compatibile:

• ha un’unica soluzione se il rango coincide con il numero delle incognite;

• ha infinite soluzioni se il rango è minore del numero delle incognite.

La dimostrazione e l’enunciazione rigorosa del teorema verranno offerte successivamente.

1.2.5 La struttura dei campi

In algebra lineare, uno degli elementi fondamentali per la costruzione di spazi vettoriali è il campo. Un campo, intuitivamente, è l’insieme degli scalari dotato di una certa struttura.

Il termine campo utilizzato in algebra lineare e in particolare in algebra, deriva dalla traduzione italiana del termine tedesco Körper, che letteralmente significa corpo.

La nozione di Körper fu introdotta nel XIX secolo da matematici tedeschi, tra cui Richard Dedekind, per indicare una struttura algebrica dotata di due operazioni binarie — somma e moltiplicazione — che soddisfano specifiche proprietà algebriche. Il termine tedesco Körper allude all’idea di un’entità solida e completa, capace di contenere tutti gli elementi necessari per definire le operazioni algebriche fondamentali in modo coerente e sistematico.

Nella traduzione e diffusione internazionale di tali concetti, il termine Körper fu reso in italiano con la parola campo e in inglese con field. Quest’ultimo richiama metaforicamente l’idea di un campo aperto, uno spazio o un insieme “ben strutturato” in cui è possibile operare senza limitazioni, proprio come un campo aperto in natura in cui ci si può muovere liberamente. Così come un campo è uno spazio in cui si può coltivare e far crescere qualcosa, in matematica il campo è una “terra fertile” su cui far crescere solide teorie.

IMMAGINE

I campi più utilizzati nell’algebra lineare sono il campo dei numeri reali \(\mathbb{R}\), il campo dei numeri complessi \(\mathbb{C}\) e il campo dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\).
Nota. Alcune volte si indica un generico campo con \(\mathbb{F}\), dall’inglese field.
Esercizio. Verificare che \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{Q}\) siano campi.
Esercizio. Dimostrare che \(\mathbb{N}\) e \(\mathbb{Z}\) non sono campi.

Un campo che ricorre spesso in algebra è il campo delle classi di congruenza modulo un primo \(p\).

La prima unità del corso è conclusa. Alcuni degli esercizi che seguono sono tratti da Algebra Lineare e Geometria di Kieran G. O’Grady, Algebra lineare, per matematici di Marco Manetti e dal Foglio 1 del corso di Algebra Lineare 2024–2025 tenuto dai professori Paolo Bravi e Simone Diverio.

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Esercizi

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